Au départ, une observation simple que l'on peut faire sur le tétraèdre :
chaque face est en contact avec toutes les autres par une arête. Ceci
ne se vérifie pas pour le cube ... l'observation fait question comme
propriété mathématique qu’a ou n’a pas un polyèdre.
Alors un problème est posé : existe-t-il d'autres polyèdres pour
lesquels chaque face est en contact avec chacune des autres ? Un tel
polyèdre est découvert en 1977 par le mathématicien hongrois Lajos SZILASSI.
Celui-ci trouve un heptaèdre : sept faces, quatorze sommets, vingt
et une arêtes et un trou. Chaque face hexagonale est adjacente aux six
autres. Mais peut être n'est-ce encore qu’un représentant d'une
famille plus nombreuse.
Ce polyèdre a été réalisé comme sculpture dans le cadre d’une
collaboration entre plusieurs établissements : la section de
Techniciens Supérieurs " Réalisation d'ouvrages chaudronnés
" du lycée de Decazeville, la section bois du lycée professionnel
d'Aubin, pour des fabrications en acier
inoxydable, en bois.
La section "Transports" lycée professionnel Jean Baylet de Valence d'Agen
effectuant le transport de Decazeville à Beaumont. L’exemplaire en
acier sera placé dans la cour de la maison natale de Pierre de Fermat
à Beaumont de Lomagne. Des exemplaires en bois seront disponibles pour
des manipulations dans l'espace Fermat.
Cet objet est lié à un autre problème : le coloriage des cartes.
L'impression en couleurs d'une carte géographique politique plane a
conduit à préciser le nombre minimal de teintes pour différencier des
pays situés de part et d’autre de limites territoriales communes.
Depuis sa formulation au milieu du XIXème siècle, de nombreux
mathématiciens amateurs ou professionnels se sont intéressés à ce
problème du coloriage des cartes. Il est résolu seulement en
1976 : toute carte plane (de régions délimitées par des
frontières linéaires) peut être coloriée à l'aide de quatre
couleurs seulement. C’est le théorème des quatre couleurs.
La preuve comprend alors 1200 heures de vérifications cas par cas sur
ordinateur. Ce qui en fit discuter la validité. Si pour des cartes
sphériques, le résultat demeure, il n'en va pas de même sur d'autres
surfaces. Par exemple, l'heptaèdre de Szilassi permet de déterminer
une carte sur le tore pour laquelle sept couleurs sont nécessaires. Et
il a été démontré que sept couleurs suffisent pour colorier toute
carte sur un tore si complexe soit-elle.
Au delà de l'analyse mathématique que présente ce polyèdre, sa
réalisation permet de montrer la nécessité des sciences dans la
résolution de problèmes techniques concrets, la fabrication pose des
problèmes mathématiques.
FICHE TECHNIQUE : Polyèdre de SZILASSI . 27 avril 2002 Section de technicien supérieur "Réalisation d'ouvrages
chaudronnés » François Padilla, Christian Roche, professeurs de
mathématiques et de chaudronnerie du lycée polyvalent de Decazeville. Les faces en acier inoxydable au procédé "LASER", l'assemblage est effectué au procédé "TIG". Masse : 42,2 Kg Surface : 2,12 m² Longueur de soudure : 11,2 m
Communication - Photos - Webmaster Maguy Krimm Mairie de Beaumont de Lomagne
Partenariat Communauté de Communes et CDG 82
Copyright "Mairie Beaumont de Lomagne" 2000‚ tous droits réservés N° CNIL 1161606
Section de technicien supérieur "Réalisation d'ouvrages
chaudronnés » François Padilla, Christian Roche, professeurs de
mathématiques et de chaudronnerie du lycée polyvalent de Decazeville.
